Lze rozdíl mezi lokálním a absolutním / globálním maximálním a minimálním bodem nalézt matematicky (bez grafu)?


Odpověď 1:

Jdete k matematickým teorémům a důkazům, abyste vypracovali takové věci.

Pokud dokážete, že vaše funkce je konvexní funkce, pak víte, že má pouze jedno lokální minimum, a tedy absolutní minimum. Stejný argument lze učinit pro maxima, pokud vezmete zápornou funkci.

Pokud jste schopni prokázat, že vaše funkce je druhá diferencovatelná a druhá derivace je téměř všude nezáporná, právě jste dokázali, že je konvexní, a pak ji můžete použít.

Pokud je vaše funkce reálné proměnné polynomem lichého řádu, než víte, nemá absolutní extrémy. Pokud je to dokonce řádné, podíváte se na znaménko primárního termínu a nemáte buď absolutní maxima, nebo absolutní minima.

Pokud můžete svou funkci rozdělit na spoustu kusů, kde každý z těchto kusů má výše uvedené vlastnosti, můžete odfiltrovat možné kandidáty na to, že se jedná o globální extrémy.

Nakonec, když máte konečný seznam bodů, můžete je vždy zkontrolovat.

Tam, kde se věci zkomplikují, když pracujete s funkcemi (nebo jejich negativy), které jsou nekonvexní a nerozlišitelné. V tomto okamžiku čím méně víte o funkci, tím méně dokážete, že extrémní bod je globální extrémní bod.

Teorie optimalizace je velmi rozsáhlá oblast současného matematického výzkumu.